8.3. Berechnungen

Bestimmung des Rückzahlungsplans, der periodische Zahlungen, der gesamten Rückzahlungssumme, oder der Zinsraten kann etwas kompliziert sein. GnuCash hat einen eingebauten Darlehensrechner, um diese Art von Berechnungen zu vereinfachen. Um diesen Rechner aufzurufen, gehen sie auf WerkzeugeDarlehensrechner.

Darlehensrechner

Der GnuCash Darlehensrechner.

Der Darlehensrechner kann dazu benutzt werden, aus jeweils vier bekannten Darlehensparametern jeden der Parameter zu berechnen: Zahlungsintervalle, Zinssatz, Aktueller Wert, Periodische Zahlungen, oder Zukünftiger Wert . Sie müssen auch die Zins- und die Zahlungsmodalitäten angeben.

8.3.1. Beispiel: monatliche Zahlungen

Wie hoch sind die monatlichen Raten für ein dreißigjähriges Darlehen von 100.000,- € bei einem festen Zinssatz von 4 % und monatlicher Verzinsung?

Dieses Szenario wird im obigen Beispielbild dargestellt. Um die Berechnungen durchzuführen, tragen sie unter Zahlungsintervalle 360 ein (12 Monate mal 30 Jahre), Zinssatz auf 4, Aktueller Wert auf 100.000, lassen sie Periodische Zahlung frei, und setzen sie Zukünftiger Wert auf 0 (am Ende des Darlehens wollen sie schuldenfrei sein). Die Verzinsung ist monatlich, die Zahlungen werden monatlich geleistet, unter der Annahme einer Zahlung am Ende des Intervalls und schrittweiser Verzinsung. Drücken Sie jetzt den Berechnen Knopf unter den Darlehensparametern. Als Ergebnis sehen Sie -477,42 € im Feld periodische Zahlungen.

Antwort: die monatlichen Raten betragen -477,42 €

8.3.2. Beispiel: Zahlungsdauer

Wie lange dauert die Rückzahlung eines 22.000,- € Darlehen bei 10 % Zinssatz, monatlicher Verzinsung und einer Rückzahlung von 500,- € im Monat?

Zur Durchführung dieser Berechnungen lassen Sie Zahlungsintervalle frei, setzen den Zinssatz auf 10, Aktueller Wert auf20.000, Periodische Zahlung ist -500, und Zukünftiger Wert ist 0 (am Ende des Darlehens wollen sie schuldenfrei sein). Verzinsung ist monatlich, Zahlungen sind monatlich, unter der Annahme einer Zahlung am Ende des Intervalls und schrittweiser Verzinsung. Drücken Sie jetzt den Berechnen Knopf unter den Darlehensparametern. Als Ergebnis sehen sie 49 im Feld Zahlungsintervalle.

Antwort: Die Rückzahlung des Darlehens dauert vier Jahre und einen Monat (49 Monate).

8.3.3. Erweitert: Einzelheiten der Berechnung

Für die Besprechungen der mathematischen Formeln, die durch den Darlehensrechner benutzt werden definieren wir erst die folgenden Variablen.


 n   == Anzahl der Zahlungsperioden
 %i  == nominaler Zinssatz
 PV  == aktueller Wert
 PMT == periodische Zahlungen
 FV  == zukünftiger Wert
 CF  == Zinsperiode pro Jahr
 PF  == Zahlungsperiode pro Jahr

Normale Werte für CF und PF sind:
  1   == jährlich
  2   == halbjährlich
  3   == dreimal im Jahr
  4   == vierteljährlich
  6   == alle zwei Monate
  12  == monatlich
  24  == halb monatlich
  26  == alle zwei Wochen
  52  == wöchentlich
  360 == täglich (12 x 30 Tage)
  365 == täglich

8.3.3.1. Umrechnung zwischen nominalem und effektivem Zinssatz

Wenn eine Lösung für n, PV, PNT oder FV benötigt wird, muss zuerst der nominale Zinssatz (i) in den effektiven Zinssatz (ieff) für die Zahlungsperiode umgerechnet werden. Dieser effektive Zinssatz wird dann benutzt, um die gewünschte Variable zu berechnen. Wenn eine Lösung für i benötigt wird, ergibt die Berechnung den effektiven Zinssatz (ieff). Deshalb benötigen wir Funktionen, die den nominalen Zinssatz in den effektiven Zinssatz, und den effektiven Zinssatz in den Nominalzinssatz umrechnen.


Zur Umrechnung von i nach ieff werden folgende Formeln genutzt:
schrittweise Verzinsung:     ieff = (1 + i/CF)^(CF/PF) - 1
kontinuierliche Verzinsung:  ieff = e^(i/PF) - 1 = exp(i/PF) - 1

Zur Umrechnung von ieff nach i werden folgende Formeln genutzt:
schrittweise Verzinsung:     i = CF*[(1+ieff)^(PF/CF) - 1]
kontinuierliche Verzinsung:  i = ln[(1+ieff)^PF]
        

Anmerkung

Hinweis: in den unten stehenden Gleichungen für Geldgeschäfte sind alle Zinssätze die effektiven Zinssätze, ieff. Aus Gründen der Kürze wird statt ieff nur ibenutzt.

8.3.3.2. Die grundlegenden Finanzgleichungen

Eine Gleichung verbindet alle fünf genannten Variablen. Diese ist bekannt als die grundlegende Finanzgleichung:


PV*(1 + i)^n + PMT*(1 + iX)*[(1+i)^n - 1]/i + FV = 0

Dabei ist:  X = 0 für Zahlungen am Ende des Zeitraums und
            X = 1 für Zahlungen am Anfang des Zeitraums.
         

Aus dieser Gleichung können Funktionen abgeleitet werden, um einzelne Variablen zu berechnen. Für eine ausführliche Beschreibung der Ableitung dieser Gleichungen lesen Sie bitte die Kommentare in der Datei src/calculation/fin.c im GnuCash Quelltext. Die Variablen A, B, und C werden zuerst definiert, um die nachfolgenden Gleichungen übersichtlicher zu machen.


A = (1 + i)^n - 1
B = (1 + iX)/i
C = PMT*B

n = ln[(C - FV)/(C + PV)]/ln((1 + i)
PV = -[FV + A*C]/(A + 1)
PMT = -[FV + PV*(A + 1)]/[A*B]
FV = -[PV + A*(PV + C)] 

Die Auflösung nach dem Zinssatz wird in zwei Fälle unterteilt.
Der einfache Fall mit PMT == 0 ergibt die Gleichung:
i = [FV/PV]^(1/n) - 1

         

Der Fall, wo PMT != 0 ist ziemlich komplex und wird hier nicht behandelt. Statt eine exakt lösbare Funktionen zur Bestimmung des Zinssatzes für den Fall PMT !=0 zu benutzen, wird ein interaktiver Prozess verwendet. Bitte lesen Sie die Datei src/calculation/fin.c für eine ausführliche Erklärung.

8.3.3.3. Beispiel: monatliche Zahlungen

Jetzt wollen wir das Beispiel Abschnitt 8.3.1, „Beispiel: monatliche Zahlungen“, erneut berechnen, diesmal aber statt mit dem Darlehensrechner mit den vorgestellt mathematischen Formeln. Wie hoch sind die monatlichen Raten für ein dreißigjähriges Darlehen von 100.000 € bei einem festen Zinssatz von 4 % und monatlicher Verzinsung?

Zuerst wollen wir die Variablen bestimmen: n = (30*12) = 360, PV = 100000, PMT = unbekannt, FV = 0, i = 4%=4/100=0.04, CF = PF = 12, X = 0 (am Ende der Zahlungsintervalle).

Der zweite Schritt ist die Umwandlung des nominalen Zinssatzes (i) in den effektiven Zinssatz (ieff). Da der Zinssatz monatlich berechnet wird, haben wir schrittweise Verzinsung, und wir benutzen die Formel: ieff = (1 + i/CF)^(CF/PF) - 1, durch einsetzen der Werte ergibt sich ieff = (1 + 0.04/12)^(12/12) - 1, oder ieff = 1/300 = 0.0033333.

Jetzt können wir A und B berechnen. A = (1 + i)^n - 1 = (1 + 1/300)^360 - 1 = 2.313498. B = (1 + iX)/i = (1 + (1/300)*0)/(1/300) = 300.

Mit A und B können wir die PMT berechnen. PMT = -[FV + PV*(A + 1)]/[A*B] = -[0 + 100000*(2.313498 + 1)] / [2.313498 * 300] = -331349.8 / 694.0494 = -477.415296 = -477.42.

Antwort: die monatlichen Raten betragen 477,42 €.